06/11/2015

A forma do Universo


A forma do Universo é a geometria local e global do Universo, em termos tanto de curvatura quanto de topologia. Embora a forma do Universo ainda seja assunto de debate na cosmologia física, a base de recentes medições da Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) dizem: "Nós sabemos agora que o Universo é plano com uma margem de erro de apenas 0,4%", de acordo com os cientistas da NASA. Os técnicos têm vindo a tentar construir um modelo matemático da forma do Universo. Por outras palavras, este é um Universo de 3-variedade, correspondendo à secção espacial (distância móvel) do universo tempo-espacial de 4-dimensões. O modelo que actualmente a maior parte dos cientistas usa é o designado Modelo Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). De acordo com os cosmologistas, neste modelo os dados observacionais que melhor se inserem é de um Universo com uma forma infinita e plana, mas os dados também são consistentes com outras formas, como por exemplo o chamado Espaço Dodecaedro de Poincaré ou com o Modelo Picard.

Dos aspectos da forma:

  1. Geometria local: Diz respeito à curvatura do Universo;
  2. Geometria global: Diz respeito à topologia do Universo como um todo.

Se o Universo observável actual engloba o Universo inteiro, é possível determinar a estrutura global de todo o Universo através da observação. No entanto, se o Universo observável for menor do que o Universo todo, as observações irão ficar limitadas a apenas uma parte desse mesmo todo e poderá ser impossível determinar a geometria global através de medições. É possível construir modelos matemáticos diferentes da geometria global com o Universo completo em que todos são consistentes com os dados actualmente disponíveis. Por exemplo, o Universo observável pode ser de várias ordens de magnitude inferior ao Universo inteiro. O Universo também pode ser inferior em algumas dimensões, mas não noutras. Para testar se um dado modelo matemático descreve o Universo de forma precisa, os cientistas procuram novas implicações no modelo - quais são alguns dos fenómenos no universo ainda não observados, mas que devem existir se o modelo estiver correcto - e fazem experiências de forma a verificar se estes fenómenos ocorrem ou não. Por exemplo, se o Universo é menor do que um laço fechado, seria de esperar ver múltiplas imagens de um único objecto no céu, ainda que não sendo imagens do mesmo ponto temporal.


Os cosmologistas trabalham geralmente com uma dada parte do espaço-tipo do espaço-tempo, as designadas coordenadas comóvel, a existência de um conjunto preferido que é amplamente aceite na física cosmológica actual. A secção do espaço-tempo que pode ser observada é o cone de luz passado (todos os pontos dentro do horizonte de luz cósmica, com o tempo para chegar a um determinado observador), enquanto que o termo relacionado, o Volume de Hubble, pode ser usado para descrever tanto o cone de luz passado como o espaço comóvel até à superfície de última dispersão. 
Falar da "forma do espaço (num deterinado ponto temporal)" é ontologicamente ingénuo se visto só do ponto de vista da relatividade espacial: Devido à relatividade da simultaneidade não é possível falar de pontos diferentes no espaço como sendo "no mesmo ponto no tempo" nem, logo, de "a forma do Universo num determinado ponto no tempo".
  • Geometria local
A geometria local é a curvatura que descreve qualquer ponto arbitrário no Universo observável (em média, numa escala suficientemente grande). Muitas observações  astronómicas, como as de supernovas e a Radiação do Fundo Cósmico de Microondas, mostram que o universo observável está muito perto de ser homogéneo,isotrópico e em aceleração.
  • Modelo do Universo FLRW 
Na Relatividade Geral isto é mostrado pelo Modelo Friedmann-Lamaître-Robertson-Walter (FLRW). Este modelo que pode ser representado pelas equações de Friedmann, fornece a curvatura (muitas vezes referida como a geometria do Universo baseada na matemática da dinâmica fluída. Embora as estrelas e estruturas com massa possam ser introduzidas num modelo "quase FLRW", um modelo estritamente FLRW é usado para aproximar a geometria local ao Universo observável. Isto é,  se todas as formas de energia negra forem ignoradas, então a curvatura do Universo pode ser determinada ao se medir a densidade média da matéria contida no mesmo, assumindo que toda a matéria está distribuída uniformemente (em vez das distorções causadas por objectos densos como galáxias).
Esta assumpção é justificada pelas observações que, enquanto o Universo é fracamente não-homogéneo e anisotrópico é, em média, homogéneo e isotrópico.

Um universo homogéneo e isotrópico permite uma geometria espacial com uma curvatura constante. Um aspecto da geometria local que emerge da Relatividade Especial e do Modelo FLRW é que o parâmetro de densidade, Omega, (Ω), está relacionado com a curvatura do espaço. O Ómega é a média da densidade do universo dividido pela densidade de energia critíca, isto é, os requerimentos necessários para o Universo ser plano (curvatura zero). A curvatura do espaço é uma descrição matemática se o teorema de Pitágoras é ou não válido para coordenadas espaciais. Em último caso, fornece uma fórmula alternativa para expressar relações locais entre distâncias.

  • Se a curvatura for zero, então Ω=1 e o teorema de Pitágoras está correcto;
  • Se Ω>1, a curvatura é positiva;
  • Se Ω<1, a curvatura é negativa.


Nos últimos dois casos, o Teorema de Pitágoras é inválido (mas as discrepâncias só são visíveis em triângulos a escalas cosmológicas). Se se medir as circunferências de círculos de diâmetros cada vez maiores e dividir a primeira pela segunda, todas as três geometrias dão um valor muito próximo de π (pi) para diâmetros suficientemente pequenos, mas o valor afasta-se de π para diâmetros maiores, a menos que Ω=1.
Assim,
  • Para Ω>1 o valor fica abaixo de π;
  • Para Ω<1 o valor fica acima de π.
As medições astronómicas da densidade da matéria e energia negras do universo e do intervalo de espaço-tempo, usando eventos de supernovas, obriga a que os valores da curvatura espacial estejam muito próximos de zero, apesar de não restringir o seu sinal. Isto significa que embora as geometrias locais do espaço-tempo sejam geradas pela teoria da relatividade baseada nos intervalos do espaço-tempo, é possível aproximar 3-espaço pela geometria Eucladiana familiar.

Possíveis geometrias locais

Existem três categorias possíveis para as geometrias espaciais da curvatura constante, dependendo do sinal da curvatura. Se a curvatura for exactamente zero, então a geometria local é zero; se é positiva, então a geometria local é esférica, e se é negativa, então a geometria local é hiperbólica.
A geometria do universo é geralmente representada pelas coordenadas comóveis em que, de acordo com a qual a expansão do Universo pode ser ignorada. As coordenadas comóvel formam um único referencial, de acordo com o qual o Universo tem uma geometria estática de três dimensões espaciais.
Debaixo da assumpção que o Universo é homogéneo e isotrópico, a curvatura do Universo observável, ou a geometria local, é descrito por uma das três geometrias "primitivas" (em matemática são chamadas de modelos geométricos):
  • 3-dimensional da Geometria Plana Euclidiana, geralmente anotada como E3;
  • 3-dimensional da Geometria Esférica com uma curvatura pequena, anotada como S3;
  • 3-dimensional da Geometria Hiperbólica, com uma curvatura pequena.

Ainda que o Universo não seja exactamente plano, a curvatura espacial está suficientemente próxima do zero para colocar o raio praticamente no horizonte do Universo observável ou para além dele.

Geometria Global

A Geometria Global trata da geometria do Universo no seu todo, em particular da topologia  do Universo observável e do Universo para além deste. Enquanto que a Geometria Local não determina a geometria global na sua completude, não limita as possibilidades, particularmente a geometria de uma curvatura constante. Para esta discussão, considera-se que o Universo seja geodésico multiforme, livre de defeitos topológicos.
Em geral, o teorema Local para o Global, na geometria Riemanniab, relaciona a geometria local à geometria global. Se a geometria local tem uma curvatura constante, a geometria global está muito constrangida, como descrito nas geometrias Thurston.
Uma geometria global também é chamada de topologia, pois a geometria global é uma geometria local mais uma topologia, mas esta terminologia é enganadora, pois uma topologia não dá a geometria global.
Duas investigações que se sobrepõem fortemente dentro do estudo da geometria global são se o Universo: 
  • É infinito na sua extensão ou se é um espaço compacto;
  • Tem uma topologia simples ou uma topologia não-simples ligada.

Detecção

Para uma geometria espacial plana, a escala de qualquer uma das propriedades da topologia é arbitrária e pode ser ou não detectável. Para geometrias esféricas e espaciais hiperbólicas, a curvatura dá uma escala (tanto pelo uso do raio da curvatura ou pelo seu inverso), um facto  notado por Carl Friedrich Gauss numa carta de 1824 a Franz Taurinus.
A probabilidade de detecção da topologia por observação directa depende da curvatura espacial: Uma curvatura pequena da geometria local, com um raio correspondente maior do que o horizonte observável, torna a topologia difícil ou impossível de detectar se for hiperbólica. Uma geometria esférica com uma curvatura pequena (um raio grande de curvatura) não torna a detecção dificil.
A análise dos dados do WMAP indicam que a escala para a superfície da última dispersão, o parâmetro de densidade do Universo está abaixo de 0,5% do valor que representa a planitude espacial. 

Compactação da forma global

Formalmente, a questão de se o Universo é infinito ou finito é se é um espaço com limites ou sem limites. Um espaço infinito (espaço métrico sem limites) significa que existem pontos arbitrariamente afastados: Para qualquer distância d, existem pontos que estão a uma distância de separação de pelo menos d. Um universo finito é um Universo métrico limitado, onde existe uma certa distância d tal que todos os pontos estão dentro da distância d entre si. O menor de tais d, é o chamado diâmetro do Universo, em que o Universo tem um "volume" e uma "escala" bem definidos.
Um espaço compactado é uma condição mais forte: No contexto das variações Riemannian, é equivalente a estar delimitado e ser geodesicamente completo. Se nós assumirmos que o Universo é geodesicamente completo, então a compactação e delimitação são equivalentes (pelo teorema Hopf-Rinow), logo sendo usados de forma alternada, se a plenitude for compreendida.

Se a geometria espacial for esférica, a topologia é compacta. Para uma geometria espacial plana ou hiperbólica, a topologia tanto pode ser compacta quanto infinita.
Nos modelos cosmológicos um espaço compacto ou é uma geometria esférica ou tem grupo fundamental infinito, pelos resultados gerais na 3-variedade geométrica.
As geometrias compactas podem ser visualizadas através de geodésicas fechadas: Numa esfera, uma linha directa, quando estendida suficientemente na mesma direcção, irá chegar ao ponto de partida. É de nota que numa geometria compacta nem todas as linhas voltam ao ponto de partida.

Se a geometria do Universo não for compacta, então é infinita em extensão com trajectos infinitos de direcção constante, geralmente não retornam, como no Plano Euclidiano.

Fechado ou aberto

Quando os cosmologistas falam do Universo como sendo "aberto" ou "fechado", na maior parte das vezes estão a referir-se a se a curvatura é positiva ou negativa. Estes significados de aberto e fechado e os significados matemáticos, dão origem à ambiguidade, pois os termos também podem estar a referir-se a variações fechadas, isto é, compactas sem limites, não confundir com um conjunto fechado. Com a antiga definição, um "Universo aberto" tanto pode ser uma variedade aberta, isto é, uma que não é compacta e não apresenta limites, ou uma variedade fechada; enquanto que um "Universo fechado" é obrigatoriamente uma variedade fechada.
No Modelo FLRW considera-se que o Universo não tem fronteiras, e neste caso "Universo compacto" poderia descrever um Universo que é uma variedade fechada.

Universo Plano

Num universo plano toda a geometria de curvatura e local é plana. É aceite na sua generalidade que é descrita por um espaço Eucladiano, embora haja algumas geometrias espaciais  que são planas e limitadas numa ou mais direcções (como a superfície de um cilindro, por exemplo).
Os espaços bidimensionais alternativos com uma métrica euclidiana são o cilindro e a fita de Möbius, que são delimitados numa direcção, mas não na outra e o toro e garrafa de Klein, que são compactos.
Na ausência de energia negra, um Universo plano expande-se para sempre mas com uma desaceleração continua, com a expansão assintótica a aproximar-se de zero. Com a energia negra, o ritmo de expansão do Universo desacelera inicialmente devido à gravidade, mas eventualmente irá aumentar. O destino final de um Universo plano é o mesmo que o de um Universo aberto.
Um Universo plano pode ter um valor zero de energia total.


Universo Esférico

Um Universo com curva positiva é descrito pela geometria esférica e pode ser imaginado como uma hiperesfera de três dimensões, ou outra variedade-3 esférica.
A análise aos dados do WMAP procura várias imagens "back-to-back" do Universo distante na radiação cósmica de microondas. É possivel observar multiplas imagens de um dado Universo se a luz emitida tiver tido tempo de um ou mais circuitos completos num Universo limitado. Os resultados actuais e análises não descartam a possibilidade de uma geometria global limitada (i.e. um Universo fechado), mas confirmam que a curvatura espacial é pequena.
Num Universo fechado, sem o efeito repulsivo da energia escura, a gravidade eventualmente interrompe a expansão do Universo, após o que começa a contrair-se até que toda a matéria do Universo observável colapsa para um ponto, uma singularidade última chamada Big Crunch, por anologia com o Big Bang. No entanto, se o Universo tiver uma grande quantidade de energia negra como sugerem as recentes descobertas, então a expansão do Universo poderá continuar para sempre.

Universo hiperbólico

Um Universo hiperbólico, o de curvatura espacial negativa, é descrito pela geometria hiperbólica. 
Existe uma grande diversidade de hiperbólicas 3-variedade e a sua classificação não é completamente compreendida. Para geometrias hiperbólicas locais, muitos dos possíveis espaços tridimensionais são designados, de forma informal, de topologias chifre, devido à forma da pseudo-esfera, um modelo canónico de geometria hiperbólica.

Modelo Milne

Se se aplicar o espaço Minkowski baseado na Relatividade Especial para a expansão do Universo, sem recorrer ao conceito de um espaço-tempo curvo, então obtém-se o Modelo Milne. Qualquer secção espacial do Universo de uma constante (o tempo adequado decorrido desde o Big Bang) terá uma curvatura nagativa; este é apenas um factor geométrico pseudo-euclidiano análogo ao que as esferas concêntricas no espaço euclidiano plano sendo, no entanto, curvas.
A geometria espacial deste modelo é um espaço hiperbólico ilimitado. O Universo inteiro está contido dentro de um cone de luz, o futuro cone do Big Bang. Para qualquer momento t>0 da coordenada tempo (assumindo que o Big Bang tem t=0), o Universo inteiro está delimitado por uma esfera de raio exactamente c t. O aparente paradoxo de um universo infinito contido dentro de uma esfera é explicado pela contração do comprimento: As galáxias mais distantes, que se encontram a viajar para longe do observador, irão aparecer mais finas.
Este modelo é essencialmente um FLRW degenerado para Ω=0. É incompativel com as observações que excluem de forma definitiva a grande curvatura espacial negativa. No entanto, como um fundo em que os campos gravitacionais (ou gravitões) podem operar, devido ao difeomorfismo invariância, o espaço na escala macroscópica, é equivalente a qualquer outra solução (aberta) de equações de campo de Einstein.


Fonte

http://en.wikipedia.org/wiki/Shape_of_the_universe


Desejo

«O condenado à morte deixou transparecer uma alegria comovida ao saber do indulto. Mas ao cabo de algum tempo, acentuando-se as melhora...